某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，销售价为x元 1. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，销售价为x元（10<x≤20），每月销售量m（件）与销售价x的函数关系式为m=-100x+3000。（1）求每月的利润W（元）与销售价x的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少？ 答案：（1）W=-100x²+4000x-30000（10<x≤20）；（2）销售价定为20元时，最大利润10000元 解析：（1）利润=（销售价-成本）×销售量，即W=(x-10)m=(x-10)(-100x+3000)，展开得W=-100x²+3000x+1000x-30000=-100x²+4000x-30000，定义域为10<x≤20。（2）函数W=-100x²+4000x-30000是开口向下的二次函数，对称轴为x=-b/(2a)=-4000/(2×(-100))=20；对称轴x=20在定义域内，故当x=20时，W取得最大值，代入得W=-100×20²+4000×20-30000=10000元。 2. 已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ + 1（n∈N*）。（1）证明：数列{aₙ+1}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的前n项和Tₙ。 答案：（1）证明见解析；（2）Tₙ=2ⁿ⁺¹ - n - 2 解析：（1）由aₙ₊₁=2aₙ + 1，得aₙ₊₁ + 1=2(aₙ + 1)；又a₁ + 1=2≠0，故数列{aₙ+1}是首项为2，公比为2的等比数列。（2）由（1）得aₙ + 1=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，故aₙ=2ⁿ - 1；前n项和Tₙ=(2¹-1)+(2²-1)+...+(2ⁿ-1)=(2¹+2²+...+2ⁿ) - n=2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n=2ⁿ⁺¹ - 2 - n。 |